случайных блуждателей на плоскости. На левом рисунке три блуждателя начинают из одной и той же точки; в каждый момент времени 0, 1, 2, 3, … каждый из них случайным образом выбирает направление и делает шаг длины 1. Общее свойство броуновских блужданий, вне зависимости от числа измерений, выражается в том, насколько далеко с течением времени уходят блуждатели. Ответ: максимальное достигнутое удаление от начала в среднем пропорционально квадратному корню из времени. Точнее, это квадратный корень, умноженный еще на некоторое число – оно важно для реального броуновского движения, но в нашей простой модели равно единице. Сделав 100 шагов, наш блуждатель удалится в среднем на 10 шагов от начала, а сделав 225 шагов – на 15 шагов от начала. Уйти далеко оказывается не самой простой задачей: понадобится (в среднем) совершить 10 000 шагов, чтобы (в среднем!) достичь удаления в 100 шагов от начала. Конечно, чтобы общие закономерности восторжествовали, может понадобиться довольно долгое хождение. Для реализаций, приведенных на рис. 9.3 слева, например, оказалось, что один из блуждателей за 300 сделанных им шагов не ушел далеко от центра, а двое других проявили себя активнее (и по случайности все они разошлись в разных направлениях; вообще-то 300 шагов – это очень мало). Тем не менее при большом числе испытаний получается та самая картина квадратного корня из времени. Это совсем не похоже на движение тел, как мы его знаем: движение с постоянной скоростью означает, что расстояние растет так же, как и время: в три раза дольше означает в три раза дальше. В окружении же «раздробленного» движения, передающего блуждателю случайные пинки, требуется прождать в девять раз дольше, чтобы (в среднем!) получилось в три раза дальше [248] . Рис. 9.3. Траектории случайных блужданий на плоскости. Длина каждого шага равна 1. Слева: три блуждания по 300 шагов каждое. Справа: случайное блуждание в 5000 шагов Одна проблема с пинками, которые маленький «предмет» получает от молекул, оставалась нерешенной до начала XX в., – это несоответствие масштабов. Размер пыльцы (и, видимо, «крошечных осколков египетского Сфинкса») – около одного микрона, т. е. 10 –4 см, а характерный размер молекулы воды, как мы сейчас знаем, 10 –8 см, т. е. в 10 000 раз меньше (сами броуновские частицы видны в микроскоп, а молекулы/атомы нет). Даже при отсутствии ясных данных о размере атомов и молекул было понятно, что они много меньше, чем частицы, которым они передают свое движение. Кроме того, число столкновений,