Вот главные положения:
«Поверхность всякой находящейся в покое жидкости шаровидна. Центр этой сферической поверхности есть центр земли.
Если тело, имеющее при равном объеме один и тот же вес с какой-нибудь жидкостью, бросить на эту жидкость, то оно совершенно погрузится в нее, но не спустится на дно.
Если твердое тело, легчайшее жидкости, бросить на эту жидкость, то часть этого тела останется над поверхностью жидкости.
Если тело, легчайшее жидкости, бросить на эту жидкость, оно погрузится в нее до тех пор, пока объем жидкости, равной объему омываемой жидкостью части тела, не будет иметь того же веса, что целое тело.
Если тело, легчайшее жидкости, погружено в эту жидкость, то оно вынырнет, и с тем большею силою, чем тяжелее будет объем жидкости против равного объема этого тела.
Тело, которое при равном объеме тяжелее жидкости, будет погружаться в нее, пока не дойдет до дна».
Архимед полагает, что перпендикуляр проходит через центр тяжести тел, которые в жидкости подымаются снизу вверх:
«Если какая-нибудь твердая величина, легчайшая жидкости, будет плавать на этой жидкости, то ее вес относится к весу равного объема этой жидкости, как погруженная часть – к целой величине.
Если ось сегмента параболического коноида не превышает трех четвертей параметра, то этот сегмент, каков бы ни был его вес, примет вертикальное положение, будучи положен на эту жидкость…» и т. д.
Следуют затем несколько предложений такого же рода, имеющих предметом найти две прямые, квадраты которых были бы в том же отношении, как удельные тяжести жидкости и сегмента.
ТрактатО леммах содержит пятнадцать предложений. Это приложение анализа к геометрическим построениям.
Эвклид
Греческая древность произвела много великих геометров, славнейшие между которыми: Архимед, Эвклид (Евклид. –Примеч. ред. ) и Аполлоний Пергейский. Они являются нам знаменитейшими, потому что мы только о них можем судить на основании дошедшей до нас части их сочинений. Творения других математиков потеряны и невозможно сказать теперь, что ими было сделано для науки, и отличить их собственные труды от заимствованного от предшественников. Можно только утверждать, что они были люди гениальные и что некоторые из их трудов были плодом мощного ума, или высшего метода, который не формулирован в дошедших до нас их сочинениях. Например, Архимед в своем сочиненииО спиралях (которые суть кривые высшего порядка) проводит касательные, измеряет поверхности; и Аполлоний в своем сочиненииО конических сечениях предлагает и решает вопросы онаибольшем инаименьшем, о развертках и т. д., как будто их теоремы были открыты прежде, при помощи высшего метода, иного против того, какой они употребляют для доказательств.